Introducción al Sistema Diédrico.

Con los conceptos aprendidos hasta ahora ya podemos ponernos manos a la obra con el Sistema Diédrico.

Vamos a comenzar por algo sencillo, a partir de un segmento en el espacio, sacar sus proyecciones y a partir de estas obtener la verdadera magnitud del segmento, os invito a que, una vez vistos los pasos a seguir, probéis a mover los puntos para ver como cambia la construcción.

  

¡¡El Sistema Diédrico es un tanto abstracto, pero Ánimo!!

Potencia de un punto respecto de una circunferencia

Tras comprender el concepto de arco capaz vamos a ir un poco más allá, hoy explicaremos el concepto de potencia.

La potencia de un punto "W2" respecto  de una circunferencia "c" se puede definir como el producto de la mayor distancia de ese punto "P" a la circunferencia por la menor distancia.

Para ello vamos a ver como se calcula la distancia de un punto a una circunferencia

Si seguimos la definición anteriormente dada de potencia sería: W2 = PA x PB = m x n = (d-R) x (d+R) 

Por lo tanto nos queda la siguiente expresión de potencia:

W2 =d2-R2

Esta expresión en la que todos los términos funcionan al cuadrado automáticamente nos recuerda al teorema de Pitágoras,si despejamos podemos asemejarlos de la siguiente forma:

Hipotenusa2 = Cateto12 + Cateto22           d2 = R2 + W2  

Es decir, nos encontramos ante la construcción de un triángulo rectángulo que tiene como datos conocidos la hipotenusa "d" y como cateto "R", y como dato desconocido "W"

 

Ya tenemos nuevas ideas que asimilar

Hasta la próxima!!

El león se va de caza. Aplicando-Práctica 2

Este es Liam, es un cachorro de león y le encanta salir a practicar su técnica de caza, pero todavía es muy joven y se ha despistado, no sabe en que lugar se encuentra. ¿puedes ayudar a Liam a localizar su posición?

Con su vista de lince y sin moverse ha avistado 4 lugares que le son conocidos, primero, el árbol seco,  justo al lado, la manada de Ñus, más allá se encuentra el Gran Manantial y por último queda el Pico Plateado, el punto más alto de la cordillera. Sabemos que el espacio comprendido entre el árbol seco y los ñus lo observa bajo un ángulo de 45º y el espacio comprendido entre el manantial y Pico plateado, desde un ángulo de 30º.

La persona que encuentre primero la posición de Liam y me mande la solución justificada se llevará esta insignia!!  

¡Genial, ya tenemos ganador! aquí tenéis la SOLUCIÓN de manos de un lector. 

Arco capaz II

En el post anterior os dejé con la duda , dados un segmento AB y un ángulo dado realizar el arco capaz del segmento con respecto a ese ángulo.

Para poder entender esta realización es vital comprender un par de conceptos, para ello vuelvo a dejaros la construcción geométrica anterior:

Observad la recta formada por PA y la recta PB, si movemos el punto P hasta que coincide con B, parece claro que la recta PA se convierte en la recta AB, pero , ¿qué ocurre con PB?

Si movemos poco a poco el punto P hacia el punto B se puede ver como el ángulo que forma la recta PB con en radio va tendiendo cada vez mas a 90º, es decir,cuando P coincide con B, PB se convierte en la recta tangente a la circunferencia en el punto B, además resulta que el ángulo formado por esta recta tangente y la recta AB coincide con en ángulo alfa dado al inicio.

A partir de este principio podemos realizar el arco capaz del segmento AB:

El centro del arco capaz se encuentra en la intersección de la mediatriz del segmento AB con la intersección de una recta perpendicular a la recta tangente en el punto B sabiendo que esta recta tangente en el punto B forma un ángulo alfa, dado, con el segmento AB.

Ya sabéis construir el arco capaz, pero, ¿seréis capaces de resolver este problema?

Algo nuevo: Arco Capaz I

Buenos días! Hoy empezamos con fuerza, primero quiero explicaros un nuevo concepto, el "Arco Capaz" pero para poder entenderlo vamos a estudiar lo que es el ángulo central y el ángulo inscrito.

Dada una circunferencia cualquiera y una recta que corta a la misma (es decir una recta secante a la circunferencia) en dos puntos A y B:

Ángulo central: será el ángulo formado por el vértice "O", el centro de dicha circunferencia, y los puntos A y B

Ángulo inscrito: es en ángulo formado por cualquier punto que se encuentre en la circunferencia "P" y los puntos A y B

Entre el ángulo central y el ángulo inscrito se cumple una propiedad, el ángulo inscrito siempre vale la mitad del ángulo central

En esta pantalla podéis probar a mover P a lo largo de la circunferencia y modificar tanto la recta "r" como el radio

La definición de arco capaz es la siguiente: "Dado un segmento AB el arco capaz de este segmento visto bajo un ángulo α ,que conozco previamente, es el lugar geométrico de los puntos bajo los que se ve el segmento AB con ese ángulo α "

Pero, si nos dan como datos el segmento AB y el ángulo α ¿cómo podemos construir su arco capaz?

Ya tenéis publicada la solución!!!

El hámster glotón. Aplicando-Práctica 1

Os presento a Bigotes, hoy vamos a practicar lo aprendido el último día con su ayuda.

Como podéis ver, Bigotes es un hámster, resulta que el otro día encontró un agujero en el bosque y lo usó para esconder sus frutos secos, como es un poco despistado, dejó una señal para marcar el lugar en el que estaban enterrados. Ahora quiere desenterrarlos pero tiene un problema, están a una profundidad de 60 cm y si los desentierra en vertical se quedará atrapado en el agujero que él mismo ha hecho, por tanto, debe crear una rampa que le permita llegar hasta su escondite.

Sabiendo que Bigotes solo puede subir inclinaciones del 35%, ¿a que distancia de la señal debe empezar a excavar?

Aquí os dejo la SOLUCIÓN , Suerte!!!

Tales & Pitágoras

Ayer a nuestro amigo Key le llamaron para colocar un cartel en un muro. Vamos a ver como se las apañó el solito para realizar el trabajo!

Key se presentó en el lugar en el que le habían citado y se encontró con que lo único que había allí eran unas herramientas y un rodillo extensible. Lo primero que tenía que hacer era conocer las medidas del muro para saber como debía recortar el cartel, como no tenía a nadie que le ayudara a medir la altura, se valió de un truco muy sencillo, utilizar la sombra, veamos como lo hizo

Key clavó una estaca en el suelo y utilizó la sombra de esta para compararla con la sombra que daba el muro de la siguiente forma

Como podemos observar el problema se reduce a una resolución de triángulos, de forma que nos quedaría lo siguiente:

 

Hm: la altura del muro       Sm: la sombra del muro 

   He: la altura de la estaca    Se: la sombra de la estaca

De forma sencilla podía obtener las medidas Sm, He y Se gracias a la cinta métrica, por último para averiguar el valor de Hm utilizó la siguiente relación:

 Hm/ Sm = He/ Se

Esta relación se obtiene gracias al Teorema de Tales que dice lo siguiente:

Teorema de Tales

"Dado un triángulo si se traza un segmento paralelo a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo  cuyos lados son proporcionales a los del primer triángulo."

Por lo tanto a Key le bastó con resolver esta ecuación:

Hm/15 = 0,6/ 1,1           Hm = 8,18 metros

Una vez que obtuvo la altura del muro quiso conocer el tamaño que debía tener la escalera que usaría para poder llegar a la parte superior del mismo, para ello planteó este problema:

Sabiendo que la escalera estará 4 m separada del muro, y que antes he obtenido la altura del muro, 8,18 metros, tengo que resolver la siguiente ecuación: 

  

E² = Hm² + B² 

Esta nueva relación se basa en el teorema de Pitágoras que dice así:

   Teorema de Pitágoras

"En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

Por lo tanto resolvemos la ecuación y nos queda:

      E² = 8,18² + 4²              E = 9,11 metros

Muchas gracias por contarnos tu experiencia

Hasta la próxima Key!

Presentación Geometría y Matemáticas

En esta sección vamos a tratar de resolver problemas de diferentes tipos, para ello contaremos con la ayuda de varios personajes que iré presentando poco a poco, el primero al que vamos a conocer se llama Key.

Key es estudiante de secundaria y algunos días trabaja para conseguir unas monedas, ya sabéis, para sus caprichos!
Le considero un chico inteligente pero un poco desordenado, ya iremos conociéndole mas adelante.

Espero que poco a poco podamos aprender geometría de una forma diferente.

Hasta la próxima!